En las aventuras de Spiderman, desde sus primeros comienzos para trasladarse al lugar del crimen no usa el metro como el resto de neoyorquinos. En cambio, Spiderman lanza un hilo de tela de araña a la fachada de un edificio y, digamos, se columpia. Espero ser lo suficientemente descriptivo pero los fans y los que sólo han visto alguna de las películas seguro que saben a que me refiero.
¿Qué tipo de movimiento describe Spiderman?
Se puede modelar este movimiento como si fuese un péndulo. Pero aquí lo vamos a describir de manera distinta, como un movimiento circular. Puede resultar más complejo de entender pero me permite hablar de cosas que aprendí en la carrera y darle utilidad (por primera vez, jejeje).
Simplificaciones
Considero a Spiderman una masa puntual de 75kg.
La longitud del hilo de tela de araña la aproximo a la longitud del edificio. Como ejemplo, el Empire State, 341m. Para no estrellarse contra el suelo, cuando Spiderman (peli) pasa entre los coches el hilo mide medio metro menos pero se puede simplificar.
Suponemos constante la longitud del hilo, mas adelante se explicará porque es una simplificación. Como vimos en el primer post sobre Spiderman el hilo de tela de araña se deforma mucho (se estira).
No considero la acción de la resistencia del aire, Spiderman en mi modelo alcanzará mayores velocidades que en la “realidad”. Las únicas fuerzas que actúan son la gravedad y la tensión del hilo.
Sistema de coordenadas
La primera simplificación del modelo es considera que es un movimiento plano, porque Spiderman realiza giros, y con 2 dimensiones es suficiente.
Usamos coordenadas polares , que son la simplificación en 2D de las coordenadas cilíndricas (3D)
Todos por naturaleza usamos el sistema cartesiano, es más sencillo de entender. Pero el uso de las coordinas polares en este caso tiene ventajas:
- La dirección del cable coincide con la primera coordenada, r. Represento su vector unitario como ur.
- La dirección tangencial coincide con la segunda coordenada, θ. Represento su vector unitario como uθ.
Nota: cuando se pone una letra o conjunto de ellas en negrita, indica vector. Poner flechitas encima es una lata, así se hace en los libros.
Cinemática
Nota: para simplificar la notación las derivadas se expresan con tildes:
La expresión general de la velocidad en polares es:
v= r’ ur +r θ’ uθ
La expresión general de la aceleración en polares es:
a= v’= r’’ ur’ + r’ ur’ + r’ θ’ uθ +r θ’’ uθ +r θ’ uθ’ =( r’’ – r θ’’) ur + ( r θ’’ + 2 r’ θ’) uθ
Como la longitud del hilo, r, no cambia: r’=r’’=0. Luego:
a = -r (θ’)2 ur + r θ’’ uθ
Para simplificar la notación definimos las siguientes variables:
w= velocidad angular [rad/s]: w = θ’
α = aceleración angular [rad/s2]: α= θ’’
Entonces, la expresión de la aceleración queda de una manera que es mas popular:
a = -r w2 ur + r α uθ
Dinámica
Ahora toca hablar de las fuerzas que actúan sobre nuestro superhéroe. Una imagen vale mas que mil palabras:
El punto simula la masa de Spiderman
Lo primero que explico es cómo pasar la gravedad a coordenadas polares, según como están definidas en este caso.
La gravedad, vertical hacia abajo, en coordenadas cartesianas se expresa así: g=-g j
Es sencillo, explicado esto, pasar a polares: j= - sen(θ) ur -cos(θ) uθ
g= - g ( - sen(θ) ur -cos(θ) uθ)
Creo que es el Principio de D’Alambert el que dice “ las fuerzas externas se equilibran con las fuerzas internas” (o algo así).
Planteamos las ecuaciones de equilibrio en las coordenadas polares:
Pero para reducir el número de variables expresamos el sistema de ecuaciones del siguiente modo, en función del ángulo (θ), la tensión del hilo (T) y la variable independiente, el tiempo (t):
Esto es un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo grado y no lineal. Ni si quiera recuerdo si llegue a aprender estos sistemas a mano, pero para eso están las herramientas matemáticas.
Mi programa matemático favorito es MATLAB, pero su modulo simbólico no es muy bueno (eso dicen los entendidos), que es lo que necesitamos usar. El MATHEMATICA, DERIVE se adaptan mejor pero no los tengo.
Volviendo al sistema de ecuaciones, para que tenga solución necesitamos imponer condiciones:
- Ángulo inicial: θ(0)= θinic 30º, 10º, el que se quiera Spiderman puede con todo
- Partimos del reposo, cuando Spiderman se lanza desde una azotea (¡qué clásico!). Esto se traduce en w(0)=0
Resultados
¡No obtengo resultados! MATLAB me indica que me falta una condición, después de darle varios días vueltas no sé cual me falta. A veces la ciencia es dura, pero para eso se creó internet y la comunidad científica ¿Alguien se anima a darme la solución?
En este post se han hablado de muchos conceptos, fijaros en las etiquetas.
Un buen lugar para aprender son los libros, y para esto yo recomiendo el libro “Mecánica vectorial para ingenieros. Diámica” de (varios autores) Ferdinand P.Beer,...
